Une métaphore mathématique : La série harmonique

Souvent perçues comme une discipline austère et éloignée de notre réalité quotidienne (à tort bien évidemment), les mathématiques recèlent pourtant bien des trésors de sagesse capables d'éclairer les aspects les plus profonds de la vie. Si leur utilité n'est plus à démontrer dans les domaines bien concrets de la physique, de l'économie ou de l'astronomie, il existe un autre aspect, peut-être moins connu, où les mathématiques brillent d'un éclat singulier. Bien plus qu'un amas de formules nébuleuses, de théorèmes complexes et d'équations abstraites, elles offrent également, dans leur grande et infinie générosité, des métaphores puissantes qui peuvent nous inspirer et nous aider à naviguer plus sereinement dans les eaux tumultueuses de notre existence.

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Au-delà des chiffres et des équations qui dansent sur les pages de nos cahiers (ou de nos publications Instagram), les mathématiques renferment en leur sein des trésors bien plus précieux et inestimables, bien plus utiles à nos vies que le théorème de Pythagore !Des leçons de vie applicables par tout un chacun, des réflexions profondes sur la nature de notre existence éphémère et de notre humble place dans le vaste Univers. Bien plus qu’une simple collection de formules, d’axiomes et de théorèmes en tout genre, les mathématiques nous offrent des métaphores qui transcendent les frontières de l’algèbre, de la géométrie ou de l’analyse. Durant notre scolarité, nombreux sont les concepts mathématiques qui nous ont fascinés, émerveillés, voire effrayés, et qui ont surtout heurté la conception qu’on pouvait se faire des choses, et par extension, du monde. Comment ne pas être sidéré lorsque l’on découvre les fractales et leurs motifs, aussi beaux qu’énigmatiques ? Comment rester impassible quand on nous apprend qu’un système fondamentalement déterministe peut être chaotique ?Comment ne pas être ébloui par la perfection géométrique du nombre d'or, qui se trouve à la base de tant de chefs-d'œuvre artistiques à travers les âges ?

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Parmi ces concepts, la série harmonique (qui correspond à la somme infinie des inverses des entiers naturels non nuls) occupe une place de choix. En observant chaque terme, qui devient de plus en plus négligeable à mesure que l’on avance, on pourrait naïvement croire que cette somme n’ira pas bien “loin”, condamnée à se heurter tôt ou tard au mur infranchissable de la convergence. Pourtant, cette somme est bel et bien... infinie ! On ne saurait imaginer la stupeur de Nicolas Oresme, à qui l’on doit la première démonstration connue de ce résultat contre-intuitif, parue en l’an 1360. Et si on te disait, qu’en prenant un peu de hauteur, nous pouvions y entrevoir un reflet de notre propre existence ?La série harmonique, avec sa somme infinie qui semble défier l'intuition, pourrait bien être une métaphore de la vie elle-même.

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Considérons individuellement chaque action : un brin d’activité physique chaque matin, quelques pages lues avant de dormir, un problème Mathflow résolu par semaine...Nous pourrions être tentés de les qualifier d’insignifiantes, car ne produisant aucun résultat significatif immédiat. Mais, en changeant de perspective, si l’on considère chaque petite action quotidienne comme un terme de la série harmonique, nous réalisons que même les gestes les plus modestes, en se cumulant, ont le potentiel de produire des résultats grandioses. Comme les vagues de l'océan qui sculptent le rivage, les petites actions, lorsqu'elles se cumulent, laissent une empreinte indélébile sur les sables de notre existence.La plus petite des graines, plantée dans le sol fertile de la volonté, peut enfanter la plus majestueuse des forêts ! Imaginons une personne qui s'engage à faire cinq minutes d'exercice par jour. Bien que ces courtes séances puissent sembler négligeables sur le moment, elles contribuent à renforcer la régularité de son activité physique. De même, une personne qui lit cinq pages d'un livre chaque jour finira par accumuler une quantité significative d’informations.

Au fil du temps, ces petites actions commencent à prendre de l'ampleur. Ce qui a commencé comme cinq minutes d'exercice par jour se transforme progressivement en dix, quinze, puis trente minutes de pratique régulière. Les quelques pages lues avant de dormir se métamorphosent rapidement en des chapitres entiers dévorés avec passion. Tout comme la série harmonique qui prend son temps, patiemment, avant de s’envoler vers l’infini, apprenons à apprécier le délicat processus de croissance et cultivons la vertu de la patience : chaque petit pas que nous faisons est un pas de plus vers la réalisation de nos rêves.

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Ainsi, la série harmonique nous enseigne que les grandes réalisations ne se produisent pas du jour au lendemain, mais résultent d'un engagement constant et d’une accumulation de petites actions. Elle nous encourage à rester fidèles à nos objectifs, même lorsque le chemin semble ardu et semé d'embûches... surtout lorsque le chemin semble ardu et semé d’embûches ! C’est dans les moments de doute et d'adversité que notre détermination est mise à rude épreuve, que notre résilience se construit et que notre caractère se forge.